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有益的游戏-填数游戏 九宫图

吃瓜阿阳

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请你在九个小方格中分别填入1—9九个连续的自然数(不能重复填入其中任何一个数),使得每一横行、每一竖列以及每一对角线上三个数的和都相等。

     
     
     

答案及解题思路

因为1+2+3+…+8+9=45,面按现定,各行、各列以及两对角线上的三个数的和都
相等,所以每一行、每一列、每一对角线上三个数的和都应该等于45÷3=15。

X11 X12 X13
X21 X22 X23
X31 X32 X33


为了讨论问题的需要,不妨用图1中的符号分别表示每一小格应该填入的数。先确定x22。为此可列出下面两方程式:

(x11 +x12+x13)+(x21+x22+x23)+(x31 +x32 +x33)
+(x13+x22+x31)+(x11+x22+x33)=75

(x11+x12+x13)+(x31+x32+x33)+(x11+x22+x33)
+(x13+x23+x33)=60

上两式相减,可得 x22=5 即中间一格应填5。

下一步要把剩下的八个数分别填入余下的八个小方格中。
要在八个数中选取不同的三个数相加使其和等于15,这三个数中必定两个是偶数,一个是奇数。因此有加下四种情
况:
1+6+8   2+6+7
2+4+9   3+4+8
在上面四组数中,2、4、6、8都各出现两次,显然,应把它们分别放在横、竖交错的四个角上;其余只出现一次的1、3、7、9应分别放在每一横行和每一竖列的中间。

如果取x11=2,那末x13应取6,x12应取7。于是又有x31应取4,x21应取9,x33应取8,x23应取1;x32应取3.九个数就都填好了(图2)。

2 7 6
9 5 1
4 3 8


当然,如取x11=2,x13还可取4,因而x12=9……也可以得到其他
的填法。不过习惯上认为这样得到的都是同一种答案。

值得一提的是,将从l到n”的
自然数排成纵横各有n个数的正方形,使在同一行、同一列成同一对角线上n个数的和都相等,这种排列人们称之为纵横图,也称“幻方”、“魔方”。我们在上面所填的就是三行(n=3)的纵横图,在我国古代也叫做“九宫”。我国言宋著名数字家杨辉曾对之进行过精心的研究。在他所著的《续古摘奇算法》(1275年)中,列出了n=3,4,5……10等行的纵横图。对于三行的纵横图,他介绍了一种巧炒的填法:“九子斜排,上下对
易,左右相更,四维挺出,”也就是说,只要将九个自然数按次序三三斜排,把上下两数对调,左右两数也对调,再将四个数字各向外挺出,形成四个角上的四个数,就行了(见图3)。

另有百度百科九宫图
https://baike.baidu.com/item/%E4%B9%9D%E5%AE%AB%E5%9B%BE%E5%88%86%E6%9E%90%E6%B3%95/4165444

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